Надворный советник. В 1734 после отъезда из Константинополя И.И. Неплюева стал поверенным в делах в Османской империи. Занимал этот пост до начала русско-турецкой войны (1735), в 1739 после её завершения снова стал поверенным в делах там же. Привёз в Константинополь ратификацию Белградского мира. Совместно с представителем России в Белграде К. Каниони (флорентийцем на русской службе) следил за исполнением статей Белградского трактата; вёл переговоры о разграничении, обмене пленными, размене чрезвычайными посольствами. Вешняков добивался, чтобы в мирном договоре официальное название империи было заменено с «Московской» на «Российскую», а султан признал за имп. Анной этот титул. Порта отклонила это требование, говоря, что императорский титул русской государыне дают мелкие государства (Дания, Швеция, Венеция, Гамбург, Голландия), а главные государи - исператор Австрии, короли английский, французский, испанский и польский не дают.
После отбытия миссии А.И. Румянцева в 1741 остался в Константинополе в качестве постоянного дипломатического представителя. В мае 1742 официально аккредитован как резидент. В 1745, давая отчёт о стараниях Франции добиться посредничества султана для прекращения войны за австрийское наследство, сообщал, что из этого ничего не выйдет вследствие османско-персидской войны и расстройства внутренних дел Турции. Вешняков горячо восставал против русских пограничных властей, которые требовали паспортов от молдаван, бегущих от турецкого притеснения в Россию, тем самым препятствуя им принести реальную пользу России. В письме канцлеру отмечал сильную привязанность турецких христиан к России, проявившуюся во время войны, и настаивал на необходимости завести поселения из них на российской территории. Также Вешняков указывал на выгоды для России и Европы от разрушения Османской империи и основания на её месте сильной христианской державы: «Мы приобрели бы себе на многие века покой и несказанную пользу установлением такой державы, которая без погибели своей не могла бы отстать от России по единству интересов и отдалённости границ. Тогда бы много сократилась гордость австрийского дома: Австрия была бы сохранена для обуздания Франции, но та же самая Франция была бы удержана от прежних своих великих замашек. Таким образом, европейское равновесие зависело бы от России да от этого нового государства на Балканском полуострове». Занимал пост резидента до своей смерти.
