Тайный советник (с 1762). Сын стольника Павла Яковлевича Веселовского (?-1715), бывшего куратором немецких школ и комиссаром Аптекарской канцелярии в Москве, от брака с Марией Николаевной Аршеневской. Брат А.П. Веселовского; возможно, племянник П.П. Шафирова. Обучался в гимназии Э. Глюка, а затем был принят в Посольский приказ переводчиком с немецкого и латинского языков. В 1707 был назначен Петром I секретарём российского посольства в Риме, возглавляемым Б.И. Куракиным. В июне 1709 года направлен в русское посольство в Вену, в январе 1710 - в Ганновер. С 1712 года секретарь посольства в Голландии. В 1714 сопровождал Куракина в Брауншвейг, а в 1716 – в Лондон.
С 1.02.1717 исполнял обязанности резидента при английском дворе. 9.06.1717 назначен резидентом в Лондоне. Участвовал в переговорах о возвращении города Висмара герцогу мекленбургскому; построил в Лондоне православную церковь; через Веселовского велись переговоры о соединении англиканской и восточной церквей. В Лондоне был напечатан составленный им для английской королевы мемориал о сыне барона Герца. Помимо непосредственных посольских обязанностей, Веселовский занимался вербовкой квалифицированных специалистов, заключением выгодных для России торговых контрактов. Во время англо-русского конфликта 1719-1720 не проявил необходимой проницательности, настойчивости и принципиальности, вследствие чего (а также ввиду сношений с братом Авраамом) лишился доверия Петра I и 16.03.1720 смещён с должности и определен секретарём посольства в Данию. Опасаясь ареста «за брата Авраама», отказался покинуть Великобританию.
В 1727 и 1733 ходатайствовал перед российскими властями о возвращении на родину. Еще при императрице Анне Ивановне он начал посылать ценные сообщения вице-канцлеру, графу А.И. Остерману, о внутриполитическом положении Англии, парламентских новостях, событиях придворной жизни и т.д. Он заверил графа в желании «употребить последние дни живота своего к услугам отечества..., яко верному и всякому доброму подданному надлежит». Возможно, Веселовского намеренно не спешили впускать в Россию потому, что такой важный «канал» информации был нужен правящей верхушке именно в Лондоне.
Вернулся в Россию после воцарения императрицы Елизаветы Петровны, в ноябре 1743. Состоял на военной службе. В 1744 отвозил князю ангальт-цербскому Христиану-Августу известительную грамоту о браке его дочери с наследником русского престола великим князем Петром Федоровичем. В ноябре 1748 назначен церемониймейстером российского императорского двора, с 7.02.1752 в отставке с присвоением чина генерал-майор. Путешествуя за границей в 1756-1760, в феврале 1757 по поручению И.И. Шувалова вёл переговоры с Вольтером о написании истории Петра I. В августе 1760 назначен куратором Московского университета. 10.02.1761 пожалован в кавалеры ордена св. Александра Невского. 18.11.1762 отправлен в отставку.
