Коллежский советник, камер-юнкер. Из казачьей семьи. Сын генерал-майора Василия Фёдоровича Саблина (1845-1912), служившего в С.-Петербурге по дворцовому ведомству, от брака с Надеждой Федотовной. Родился в Новочеркасске. Вначале обучался в 3-й С.-Петербургской гимназии, в 1892 поступил в Александровский лицей, который и окончил в 1898. 4.08.1898 поступил на службу в 1-й (Азиатский) департамент Министерства иностранных дел в чине коллежского секретаря. 11.11.1899 назначен состоять при русской миссии в Белграде сверх штата, там же с 20.01.1903 был 2-м секретарём в чине титулярного советника. 4.08.1904 произведён в коллежские асессоры. 31.01.1905 назначен секретарём миссии в Марокко. Пожалован званием камер-юнкера. В октябре 1908 был назначен 1-м секретарём миссии в Тегеране, 22.09.1909 удостоен Высочайшей благодарности «за примерное исполнение обязанностей поверенного в делах в Персии в искючительных по тяжести своей условиях». В 1913 также исполнял обязанности поверенного в делах в Персии. В декабре 1914 командирован в распоряжение российского посла в Лондоне. В декабре 1915 назначен 1-м секретарём этого посольства. Временное правительство назначило Саблина советником посольства в Лондоне. Был награждён орденом Св. Владимира 4-й степ и иностранными орденами Кн. Даниила I 4-й степ. (Черногория, 1.09.1903), Такова 4-й степ. (Сербия, 1.09.1903), Белого орла 4-й степ. (Сербия, 3.03.1905), Льва и Солнца 1-й степ. с красной лентой (Персия, 1.07.1909). После Февральской революции остался вторым лицом посольства в Лондоне, а в 1919 министром иностранных дел Белого движения С.Д. Сазоновым назначен
там же поверенным в делах вместо К.Д. Набокова.
По свидетельству Г.Н. Михайловского, Саблин «прекрасно знал Среднюю Азию, но Лондона не знал совсем, и... мотив увольнения Набокова - то обстоятельство, что он будто бы не имел достаточных связей с англичанами, - был так же применим к Саблину, как и к его предшественнику. У Саблина было неизмеримо меньше связей с местным обществом, чем у Набокова, не говоря уж о такой элементарной вещи, как знание языка. Набоков говорил по-английски, как англичанин, а Саблин, приехав в Лондон, совсем плохо знал английский и стал учиться уже на месте... Если эта замена Набокова Саблиным состоялась, то, увы, отнюдь не по деловым соображениям, а по мотивам личного характера. Набоков в двух-трёх вопросах разошёлся во мнениях с Сазоновым, и тот по старой министерской привычке, не терпя возражений, взял и уволил Набокова, назначив следующего по рангу чиновника посольства поверенным в делах... По облику своему Саблин напоминал русского помещика из покладистых и гостеприимных, и покладистость его...была источником всего его дипломатического успеха».
После окончания гражданской войны в России был управляющим делами бывшего российского посольства в Лондоне. После установления дипломатических отношений между Великобританией и СССР 1924 был избран представителем интересов русской колонии в Лондоне. До начала 2-й мировой войны принимал деятельное участие в жизни белой эмиграции, занимался вопросами российских беженцев в Великобритании. В 1924 на свои средства арендовал дом в Кенсингтоне, где основал «Русский дом». Несколько лет спустя купил дом в том же районе, куда перенёс как собственную квартиру, так и деятельность русских организаций. «Русский дом» стал уникальным центром русской колонии, в котором проходили разнообразные творческие встречи, концерты, выступления и т. д., сохранялась национальная культурная традиция. В «Русском доме» были собраны и бережно хранились многие исторические ценности и реликвии императорской России, в том числе портреты Петра І и его супруги Екатерины, подаренные Саблину торговым домом братьев Берингов. В 1944 во время одного из налётов германской авиации на Лондон «Русский дом» был разрушен прямым попаданием бомбы, большая часть ценостей погибла. Состоял почётным попечителем русской церкви в Лондоне и церковным старостой; был казначеем Российского Общества Красного креста в Лондоне. Скончался в Лондоне.
Саблин был выдающимся знатоком русской литературы, особенно в пушкиноведении. «Человек редкой обаятельности, он сочетал верность России – и чутьё к современности», - писал о нём парижский журнал «Возрождение».
Был женат на Надежде Ивановне Баженовой (1892-1966), дочери И.Р. Баженова, редактора с.-петербургской газеты «Свет».