Действительный статский советник (с 14.04.1902), камергер (с 6.04.1903). Сын действительного статского советника Василия Сергеевича Неклюдова (1818-1880) от брака с Марией Гаврииловной Катакази (1827-1901), внук Г.А. Катакази, племянник К.Г. Катакази. Родился в Афинах. Окончил историко-филологический факультет Московского университета. В службе с 22.06.1879. С 1881 - в МИДе, службу начал в качестве секретаря консульства в Призрене, затем 2-й секретарь дипломатического представительства в Болгарии, с 11.04.1883 - помощник секретаря, с 6.02.1885 - 2-й секретарь посольства в Константинополе. 22.06.1884 произведён в коллежские асессоры, 22.06.1888 - в надворные советники. С 2.08.1891 - 1-й секретарь миссии в Белграде (в 1894-1895 фактически исполнял обязанности главы миссии после отъезда посланника А.И. Персиани), с 1.08.1898 - в Стокгольме, с 18.10.1898 - в Штутгарте, откуда 18.06.1904 был переведён в Париж на должность советника посольства во Франции. 22.06.1892 произведён в коллежские советники, 22.06.1896 - в статские советники. В 1904–1905 представлял интересы России в Международной следственной комиссии по «Гулльскому инциденту» (обстрел российской 2-й Тихоокеанской эскадрой британских рыбацких судов в Северном море), за что 4.03.1905 был удостоен Высочайшей благодарности. Способствовал укреплению франко-российских связей. С 5.09.1910 по декабрь 1910 управлял посольством в качестве поверенного в делах после смерти посла А.И. Нелидова.
С 1911 чрезвычайный посланник и полномочный министр России в Болгарии. Содействовал созданию Балканского союза 1912, поддерживал пророссийскую партию в болгарском правительстве. Отстаивал проболгарскую ориентацию российской внешней политики на Балканах, но не сумел добиться более чёткой пророссийской линии во внешней политике Болгарии. В преддверии Балканской войны 1913 предлагал в качестве гарантии от раскола Балканского союза заключение брака болгарского престолонаследника Бориса с одной из русских великих княжон (идея отклонена царём Фердинандом). Министр иностранных дел
С.Д. Сазонов весьма критично отзывался о результатах миссии Неклюдова в Софии, и 27.10.1913 Неклюдов переведён на пост посланника в Швеции. В 1914 при его участии решался важный для России вопрос — останется ли Швеция нейтральной в Первой мировой войне. В январе 1917 обсуждал с болгарскими представителями в Стокгольме необходимость переговоров по заключению перемирия между Россией и Болгарией. В апреле 1917 Временным правительством был назначен послом России в Испании. В августе, после неудачи корниловского выступления, отправил главе Временного правительства А.Ф. Керенскому незашифрованную телеграмму с обвинением, что тот губит Россию, и ушёл с дипломатической службы. Жил в эмиграции на юге Франции в Ницце, где и скончался. Был членом монархической группы, входившей в «Правый центр» – нелегальное объединение правых партий и организаций в Советской России в начале Гражданской войны 1917–1922.
За службу был награждён российскими орденами: Св. Станислава 2-й степ. (21.04.1891), Св. Анны 2-й степ. (1895), Св. Владимира 4-й степ. (13.04.1897), Св. Станислава 1-й степ. (26.03.1905, за работу в Международной следственной комиссии по «Гулльскому инциденту»), Св. Анны 1-й степ. (29.03.1909), Св. Владимира 2-й степ. (1913), медалями в память царствования имп. Александра III и 300-летия царствования Дома Романовых, Красного Креста (22.03.1905), а также иностранными орденами: Кн. Даниила I 4-й степ. (Черногория, 18.10.1883), Меджидие 3-й степ. (Османская империя, 24.04.1890), Кн. Даниила I 3-й степ. (Черногория, 4.12.1890), Св. Саввы 3-й степ. (Сербия, 1894), Такова 2-й степ. со звездой (Сербия, 1895), Фридриха 3-й степ. (Вюртемберг, 9.06.1905), Почётного легиона (Франция) командорским крестом (1907) и большим офицерским крестом (1911). От родителей унаследовал 2500 десятин земли в Новгородской губернии. Похоронен на кладбище Кокад.
Автор воспоминаний о дипломатич. службе, которые содержат ценные сведения о государственных и общественных деятелях, раскрывают важные нюансы дипломатических манёвров сторон («Diplomatic reminiscences. Before and during the World War, 1911–1917», London, 1920; «Предсказание русской революции», в сборнике «Архив русской революции», 1922, т. 1; «Souvenirs diplomatiques. En Suède pendant la guerre mondiale», 1926). Кроме того, издал книгу воспоминаний «Старые портреты: семейная летопись» в двух томах (Париж, 1932, 1933), где дал подробный очерк быта и службы провинциального дворянства в 15–18 вв. И.А. Бунин писал в предисловии к книге: «Повествование А. В. Неклюдова обладает качествами, присущими характеру самого автора: живостью, непосредственностью, изящной простотой, тонким остроумием, одушевлено сердечной, хотя и не слепой любовью к русскому прошлому, изложено отличным и несколько своеобразным языком».
От брака с Надеждой Васильевной Безобразовой (1865-?) имел детей: Ольгу Александровну (1884); Василия Анатольевича (1885-1901); Петра Анатольевича (1886-1918), секретаря при российском посольстве в Риме; Сергея Анатольевича (1890-1916), поручика, погибшего на Волыни в боях Первой мировой войны; Елену Анатольевну (1892-1931), фрейлину, замужем за бароном Г.Г. Гротгусом; Елизавету Анатольевну (1899-1982).
