Из древнего немецкого рода, известного в Ливонии с XIV в. Сын А.Ю. Францбекова (?-1625). Поступил на русскую службу в 1613 после взятия московскими войсками города Белого. После смерти отца обратился к патриарху Московскому Филарету с просьбой о перекрещивании в православие. Челобитная Францбекова по сути представляла собой яркий антипротестантский трактат. Несмотря на противодействие семьи, в 1627 принял православие и был пожалован в московские дворяне с награждением окладом поместного и денежного жалования. Карьеру Францбекову помогли сделать его высокий уровень знакомства с нормами русского права и культуры, прекрасное владение русским и греческим языками и обладание каллиграфическим почерком. В 1627-1629 неоднократно присутствовал на приёмах у царя («царских столах»). В 1630 находился на должности воеводы в Яранске. Во время его воеводства в Яранске размещались крупные воинские силы: 200 стрельцов под командованием сотников, конный отряд служилых дворян и отряд служилых людей из марийцев и других народов. Кроме того, здесь же находился небольшой пушечный наряд с семью пушкарями. Общее число войск составляло около 240 человек, что было больше количества всех посадских людей в Яранске.
В начале 1633, во время Смоленской войны, московское правительство решило послать в Стокгольм агента «для польских и литовских вестей». На решение московского правительства повлияло и то обстоятельство, что шведский король за два года перед тем прислал в Москву первого шведского резидента Ягана Меллера. В 1633 шведской королеве Кристине была послана грамота царя Михаила Фёдоровича с объяснением причин, вызвавших отправление в Швецию русского агента, а также с объявлением, что на эту должность предположено назначить Францбекова, «из рыцерских людей доброго и верного человека». Выбор Францбекова объяснялся личной преданностью его патриарху Филарету, знанием им немецкого языка, умением ориентироваться в международной политике, а также активным участием дяди дипломата В. Фаренсбаха в политических планах шведского кородля Густава II Адольфа. Но дело отправки Францбекова замедлилось, вероятно, вследствие крайне неблагоприятного оборота дел на театре войны. Только 15.11.1634 для Францбекова был написан наказ, в котором ему поручалось не только вести официальные сношения со шведским правительством, но также «тайно проведывать от нарочитых людей, добрых и досужих, кому бы доверить можно, и у агентов разных земель, как с цесаревыми людьми войну ведут, кто от цесаря против свейских людей учинен начальником, и чаять ли миру…». Большая часть обширного наказа касалась польских и крымских дел. Кроме этого наказа дан был еще тайный, который агенту было приказано вытвердить наизусть в Москве. При составлении донесений царю посол должен был использовать тайнопись, изобретённую в 1633 для «государевых и посольских тайных дел» патриархом Филаретом.
При отправлении в Швецию Францбеков получил 500 рублей и соболей на 200 рублей, а также разные запасы (рыба, икра, меды, пастила и т. п.), «чем ему иноземцев потчевать». С ним поехала большая свита в 34 человека. Так как шведский резидент в Москве получал содержание от русского правительства, то и Францбеков должен был получать «корм» от шведской королевы. В Стокгольме Дмитрия Андреевича встретили из-за многочисленности свиты не особенно благосклонно. Кроме того, от имени королевы вскоре была послана в Москву жалоба на то, что людьми Францбекова был убит один швед. Вследствие этого Францбекову от имени Михаила Фёдоровича Посольский приказ сделал выговор за то, что он «в чужом государстве оказывается таким дурным делом, что и слышать стыдно; самому управляться и до смерти убивать человека непригоже». В итоге Францбеков завоевал расположение шведского двора, но Тридцатилетняя война настолько поглощала внимание шведского правительства, что оно не могло оказать Москве поддержку в польских делах, и поэтому 26.10.1636 Францбеков возвратился в Москву. На должности русского резидента он активно отстаивал права российских купцов в Швеции. В 1640 за шведскую службу был награжден прибавкой к поместному окладу 150 четей и денежному жалованию 30 рублей.
В 1642-1643 был воеводой в Вятке. В 1644 Францбеков явился в Москву по указу царя Михаила Фёдоровича и поручению патриарха Иосифа к королевичу Вольдемару (сыну короля Дании Кристиана IV от второго морганатического брака), прибывшему в Москву в качестве жениха царевны Ирины Михайловны, с задачей склонить королевича к принятию православия. Несмотря на все старания Францбекова, королевич православия не принял. Неудача Францбекова, по-видимому, стала причиной окончательного удаления его от дипломатических дел.
В 1649 – августе 1652 Францбеков был воеводой Якутска, где стал кредитором и активным организатором экспедиций землепроходца и «опытовщика» Е.П. Хабарова на Амур (1649–1650, 1650–1653). Злоупотребления Францбекова в Якутске (занимался ростовщичеством; задерживал отпуск промышленников, вымогая взятки; устраивал угощения за плату и т.д.) вызвали челобитные московских гостей и купцов «гостиной сотни», которые поддержали якутские дьяки. В результате сыска помимо выявления злоупотреблений у Францбекова конфисковали меха на 2123 рубля, денежных «кабал» на 6763 рубля, а также 3855 рублей наличных денег. По завершении следствия Францбеков вернулся из Сибири в Россию, где занимался управлением многочисленными имениями. Скончался в Москве холостым, не имея прямых наследников.