Родился в Москве. Сын священника, начинал учиться в Славяно-греко-латинской академии; в 1748 из класса пиитики вместе с другими семинаристами был отобран В.К. Тредиаковским в число студентов Академического университета. Первоначально Дубровский был помещен в Академическую гимназию для изучения разговорного латинского языка, но в мае 1751 он уже сдал экзамены за второй курс университета, особо отличившись в философии и словесных науках. В 1755 его собирались назначить справщиком (корректором) в типографию Морского кадетского корпуса, но по прошению от 27.03 оставили при Академии. В 1755—1756 студент Дубровский вёл старший латинский класс в гимназии, а в 1757 стал академическим переводчиком.
К началу 1760-х у Дубровского устанавливаются связи с семейством Воронцовых. В начале 1760 отправился в качестве гувернёра С.Р. Воронцова в путешествие по югу России, к Черному и Каспийскому морям. По заданию Академии наук вёл «путевой журнал», посвящённый «любопытному в натуральной истории» (не сохранился), и представлял регулярные отчёты. 23.03.1760 Дубровский выслал в Академию из Казани рукопись «Разговора о пользе наук и училищ» В.Н. Татищева. 20.01.1761 Дубровский с воспитанником возвратился в С.-Петербург. После того как Воронцов в 1761 получил назначение поверенным в делах в Вене, Дубровский лечился «марциальными» водами в Богемии, а вернувшись в С.-Петербург, 16.10.1761 уволился из Академии наук, определившись в Коллегию иностранных дел и уехал в Вену. В 1766-1772 служил переводчиком российской миссии в Гааге. С октября 1769 до марта 1770 заведовал делами миссии после отъезда А.С. Мусина-Пушкина и до прибытия Д.А. Голицына. Переписка Дубровского с Воронцовыми за 1769—1771, дружески откровенная и шутливая, свидетельствует о его близких отношениях со своими покровителями.
Занимался литературой, первым начал переводить на русский язык роман «Приключения Телемака» Ф. Фенелона (в 1755 перевёл три первых книги романа александрийским рифмованным стихом, заслужил поощрение В.К. Тредиаковского). В 1755—1756 Дубровский активно печатался в журнале «Ежемесячные сочинения», помещая за подписью «А. Д.» переводы мелких стихотворений классических (Овидий) и новолатинских (А.-Д. Мюре, Д. Оуэн) авторов; в трёх своих баснях переработал сюжеты Ж. Лафонтена. Оригинальный характер имела поэма «На ослепление страстями», посвящённая этической проблематике «философии оптимизма». Также переводил Вольтера: диалог «О славе. Разговор с китайцем» (1756), а к 16.07.1759 завершил стихотворный перевод трагедии «Заира» (опубликован лишь в 1779 «иждивением Федора Заботнова» — купца Ф.Я. Заботина). На сцене «Заира» в переводе Дубровского не ставилась, однако Н.И. Новиков в «Опыте исторического словаря о российских писателях» отметил, что Дубровский «перевёл в российские стихи трагедию “Заира” весьма не худо; вообще стихотворство его похваляется довольно». После 1779 новые произведения Дубровского в печати не появлялись, его дальнейшая судьба неизвестна.