Родился в Тифлисе, родители неизвестны, был взят на воспитание в семью инженера-технолога и предпринимателя Александра Павловича Бахметьева. 25.11.1892 Тифлисский окружной суд удовлетворил ходатайство А.П. Бахметьева об усыновлении своего воспитанника. В 1898 окончил с золотой медалью 1-ю Тифлисскую гимназию, в 1903 — Институт путей сообщения в С.-Петербурге. Для подготовки к преподавательской деятельности в С.-Петербургском Политехническом институте был командирован на два года за границу. В 1903-1904 в Цюрихском политехникуме (Швейцария) изучал гидравлику, в 1904-1905 — методы инженерной работы в США, работал там на строительстве канала Эри. В студенческие годы увлёкся марксизмом, стал активным деятелем Российской социал-демократической рабочей партии (РСДРП). На IV съезде РСДРП (1906) был избран в ЦК партии от меньшевиков, но после революции 1905-1907 от партийной работы отошел. В 1905-1911 внештатно преподавал в Политехническом институте; в 1911 защитил докторскую диссертацию по гидравлике; с 1912 адъюнкт по кафедре прикладной механики, с 1913 — экстраординарный профессор. Преподавал гидравлику, гидроэнергетику, теоретическую и прикладную механику. В 1912 были изданы его «Лекции по гидравлике», в 1914 — «Переменные потоки жидкости в открытых каналах». Организовал также частную проектную контору, работавшую по заказам правительства и частных компаний. Под руководством Бахметьева были разработаны проекты гидроэлектростанций на Днепре и Волхове, впоследствии реализованные при советской власти в изменённом виде.
С начала Первой мировой войны работал в Красном Кресте помощником управляющего (директора), затем директором хирургического госпиталя, в который были преобразованы общежития Политехнического института. С 1915 выполнял различные поручения Особого совещания по обороне. В 1915-1916 был руководителем закупочной комиссии Центрального Военно-промышленного комитета в США. После Февральской революции 1917 — товарищ (заместитель) министра промышленности и торговли Временного правительства.
В июне 1917 назначен послом в США. По пути в Вашингтон он следовал через Японию, сотрудник российского посольства в которой Д.И. Абрикосов позднее так вспоминал о Бахметьеве: «Бахметев [так! - Прим. составителя] оказался умным и талантливым человеком, но он совершенно не соответствовал нашему представлению о российском дипломате. Крупенский послал нашего переводчика встретиться с ним в Цуруге. На скормной станции, где его ждали начальник станции, главный таможенный инспектор и два или три других местных чиновника, Бахметев принял героическую позу и объявил, что он от лица свободной России приветствует народ Японии. Поскольку такое заявление было бы совершенно непонятно японским чиновникам (если его вообще можно было перевести на японский язык), наш переводчик упростил речь Бахметева: он сказал, что посол очень рад приехать в Японию и восхищён её прекрасными пейзажами. Чиновники заулыбались и все остались довольны».
Приехав в США, Бахметеьв выступил с речами, имевшими огромный успех в Конгрессе и Сенате; объехал в сжатые сроки свыше полутора десятка крупных американских городов, где выступал с речами на митингах и различных собраниях, встречался с представителями политической и деловой элиты. Бахметьев стремился пропагандировать образ новой, демократической России в глазах американцев и добиться со стороны США максимально возможной финансовой, материальной и политической поддержки усилий России в войне. Прекрасное знание английского языка и обычаев страны, многочисленные знакомства, завязанные им в деловых и политических кругах, способствовали достижению его целей. После большевистского переворота заявил, что пришедшее к власти в Петрограде правительство не выражает интересов народа России.
По воспоминаниям Г.Н. Михайловского, «когда он [Бахметьев - Прим. составителя] победил и был назначен (в качестве оснований для его назначения приводилось то, что он имел до войны знание САСШ, был в Северной Америке в связи с военными заказами царского правительства во время войны и производил прекрасное впечатление на американцев), то оказался первым послом Временного правительства, взятым не из дипломатической среды. Как мне потом говорил сам Милюков, он, представляя кандидатом на пост посла в Вашингтоне Б.А. Бахметьева, не был подробно осведомлён о его роли в царских военных заказах. Многое, что потом всплыло и стало известным Милюкову, заставило его впоследствии пожалеть об этом назначении, но было уже поздно. Большевистский переворот застал Б.А. Бахметьева послом, и огромные казённые суммы, пересланные как царским, так и Временным правительством в наше посольство в Вашингтоне, были сразу же переведены Бахметьевым на своё имя. Часть их пошла на гражданскую войну, но большая часть расползлась без всякого контроля на надобности дипломатического ведомства и разных учреждений за границей... В Петрограде мне приходилось встречать Б.А. Бахметьева в обществе. Он производил впечатление очень живого и даже весёлого человека, но, признаюсь, я был весьма удивлён, когда он вдруг оказался послом, так как вообще политикой он, по-моему, никогда не интересовался, не говоря уже о дипломатии».
Приказом наркоминдел Л.Д. Троцкого от 26.11.1917 уволен с поста посла, но американское правительство продолжило рассматривать его как официального дипломатического представителя России и в обход Конгресса разрешило Бахметьеву использовать кредиты, выделенные Временному правительству, для финансирования антибольшевистского движения. Сыграл огромную роль в организации финансовой и дипломатической поддержки белого движения. Организовывал деятельность Закупочной комиссии и Русского информбюро в Нью-Йорке, предлагался в качестве кандидатуры на замещение поста министра продовольствия снабжения в правительстве А.В. Колчака. В декабре 1918 в Париже по инициативе Бахметьева было образовано Русское политическое совещание в составе российских послов и видных политических деятелей, преимущественно либерально-демократической ориентации. Хотя представители России не были допущены к участию в Парижской мирной конференции, Совещание пыталось отстаивать интересы России путем подачи различных записок и меморандумов, неофициальных контактов с представителями великих держав. Бахметьев в Париже возглавил Политическую комиссию Совещания. Однако не подкрепленные наличием легитимного правительства в России, российские дипломаты ничего существенного добиться не смогли. После поражения А.В. Колчака и А.И. Деникина Бахметьев утратил веру в возможность свержения большевизма путем военных движений. В начале 1920 выработал в основных чертах программу «национально-демократического» возрождения России, базировавшуюся на таких принципах, как собственность, народоправство, демократия, децентрализация и патриотизм. Но программа не была обнародована. Выступил против использования польских войск для борьбы против большевиков, опасаясь территориальных потерь. В 1921 финансировал создание в Париже комитета членов Учредительного собрания, в котором видел суррогат национального представительства, газету П.Н. Милюкова «Последние новости».
После отставки в 1922 с должности посла остался в США; с компаньонами приобрел оборудование небольшой спичечной фабрики Lion Match Factory, которая благодаря их усилиям вошла в число четырёх крупнейших спичечных фабрик США. С 1931 Бахметьев — профессор Колумбийского университета, где он читал лекции по гидравлике. Одним из первых применил методы аэродинамики в гидродинамике, что открывало новые перспективы в развитии этой науки о течении жидкостей. В 1932 была издана его книга «Гидравлика открытых каналов» (Hydraulics of Open Channels), в 1934 читал курс лекций «Механика турбулентного движения» (Mechanics of Turbulence) для ученых и инженеров в Принстоне. В 1934 принял американское гражданство. Много сделал для развития инженерного дела в США; был одним из учредителей (1945) и председателем Инженерного фонда.
Бахметьев стал основателем, директором и главным спонсором Гуманитарного фонда, направляя на его нужды средства, заработанные в «спичечном» бизнесе. Фонд оказывал поддержку таким видным эмигрантам из России, как Г.В. Вернадский, Н.В. Валентинов-Вольский граф П.Н. Игнатьев, А.Ф. Керенский, Н.О. Лосский, С.П. Мельгунов, С.Н. Прокопович, Г.П. Федотов, оказывал помощь в связи с болезнью И.А. Бунину, А Л. Толстой, отчасти финансировал издание нью-йоркского «Нового журнала», выделял средства русскому детскому дому и русской гимназии в Париже и т. п. Бахметьев основал также Фонд помощи русским студентам. На средства Бахметьева был основан Архив русской и восточноевропейской истории и культуры в Колумбийском университете, одно из лучших собраний российских материалов за рубежом, носящий его имя и существующий до сих пор на доходы от оставленного Бахметьевым капитала.
За работу «Механика турбулентного движения» Бахметьев был награждён Большой медалью общества дипломированных инженеров Франции. Он также являлся лауреатом премий Дж. Лори (1937) и Дж. Стивенса (1944), которые были ему присуждены за заслуги в развитии прикладной науки. В 1945 был избран почётным членом Американского общества гражданских инженеров, членом которого являлся с 1917. Он также являлся членом Американского общества инженеров – механиков и Института аэрокосмических наук. Бахметьев был любителем и коллекционером работ российских живописцев, а также коллекционировал русские иконы. Скончался в Брукфилде (штат Коннектикут) от сердечного приступа на 72-м году жизни, похоронен в Валхалле (штат Нью-Йорк) на кладбище Кенсико.
Был женат дважды: первым браком (с 1905) на Елене Михайловне Сперанской, враче-акушерке, вторым браком на Мэри Эрландер Коул.
