Тайный советник (с 1861). Из московского дворянского рода, ведущего происхождение от выходца из Золотой Орды Берки, который выехал в 1-й половине XIV в. к Ивану Калите и в крещении был назван Аникой. Сын статского советника Адриана Фёдоровича Аничкова (1759-1831) от брака с Прасковьей NN. По окончании в 1827 курса в Московском университете служил некоторое время по выборам московского дворянства. В 1828 Аничков поступил на службу в Департамент внешней торговли Министерства финансов, но вскоре перешел в Департамент уделов, а в 1832 назначен чиновником особых поручений при департаменте по морской части. Только в 1834 Аничков, после непродолжительной отставки, нашёл свое действительное призвание, поступив в Азиатский департамент МИД. В 1838 он уехал генеральным консулом в Тавриз и с тех пор деятельность его до отставки сосредоточилась в Персии. Произведённый 30.03.1852 в действительные статские советники, Аничков 20.03.1854 стал управлять русской миссией в Тегеране в качестве поверенного в делах, а 5.04.1858 назначен чрезвычайным посланником и полномочным министром при дворе шаха персидского. Аничков принадлежал к числу опытных и искусных русских дипломатов. Во время Крымской войны 1853—1856 он с большим умением парализовал агитаторскую деятельность в Персии англичан, уговаривавших шаха примкнуть к туркам и действовать вместе с ними против русских. Благодаря твёрдому и решительному характеру Аничкова, персы удержали разные мелкие племена от враждебных действий против русских и помогли сосредоточить русским войска в Малой Азии. Взятие Карса явилось отчасти результатом дипломатических отношений России и Персии. 15.01.1863 уволен в отставку по болезни.
За службу награждён орденами Св. Станислава 2-й степ. (04.08.1842), Св. Анны 2-й степ. (06.06.1847), Св. Владимира 3-й степ. (06.12.1848), Св. Станислава 1-й степ., Св. Анны 1-й степ., Св. Владимира 2-й степ. Также имел персидский орден Льва и Солнца 2-й степ. со звездой.
От брака (с 1864 или 1865) с Марией Богдановной, состоявшей в Обществе пособия несовершеннолетним, освобождённым из мест заключения, и Обществе трезвости, имел дочь Ольгу Николаевну (1870-?).
